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考研管综数学——排列组合常见解题方式

作者:233网校-Sunshine 2023-01-27 00:51:46
导读:许多考生虽然曾在中学课本中学过排列组合,但早已记不清具体的知识点,对于排列组合中的概念与方法选择极易混淆。针对近期考生们对于排列组合提问的情况,对此类问题进行一个详细的剖析。
基本理论知识

(一)排列问题:从个元素中取个元素,需要考虑的顺序,用表示。

注意:只表示排列数,而不表示具体的排列。

补充:规定0  1

基本排列问题例题

在某市物理竞赛中,一中、二中、三中三所学校分别有3名、2名、1名同学获得一等奖,将这6名同学排成一排合影,要求来自同一个学校的学生站在一起,则不同的排法共有(  )种。

A. 12 B. 36 C. 72 D. 120 E. 720

【答案】C

(二)组合问题:从个元素中取个元素,无需考虑的顺序,用表示。

基本组合问题例题

飞腾公司近期组织员工出差培训,每回去两个人,从甲、乙、丙、丁、戊、己中任选两人出行,那么共有(  )种不同的方案。

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 E. 25

【答案】C


常见解题方法

加法原理:完成一件事共有类办法;在第一类办法中有种不同的方法,在第二类办法中有种不同的方法,…在第类办法中有种不同的方法;那么完成这件事共有种不同方法。

乘法原理:完成一件事需要分成个步骤;完成第一步有种不同的方法,完成第二步有种不同的方法,…完成第步有种不同的方法;那么完成这件事共有种不同的方法。

解题关键题干信息变化万千但不离其宗,我们需要从其中提取出关键的数学信息,用逻辑思维进行整合判断。将所有的题目拆解为“选取”和“排序”的过程,据此写对应表达式。

考向1 相邻问题——捆绑法:题目中规定某些元素必须相邻,解题时当作一个大元素来进行排列。

注意:较复杂题目有存在多个大元素的情况。

例题:第一中学甲班的6名学生一起去大剧院观看表演,安排有A、B两排座位,每排3个位置。其中小明和小红坐在一起的排法有(  )种。

A. 48 B. 96 C. 120 D. 168 E. 192

【答案】E

【解析】A排:①②③  B排:④⑤⑥

小明和小红必须要坐在一起,他们只能坐①②、②③、④⑤、⑤⑥,共有种,其他四名同学在剩下四个位置排序种,故共有种。

考向2 相离问题——插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

例题:7人站成一排照相,若要求甲、乙、丙不相邻,则有(  )种不同的排法。

A. 1020 B. 1040 C. 1140 D. 1220 E. 1440

【答案】E

【解析】除去甲、乙、丙三人余下四个人站位图:①A②B③C④D⑤,他们之间有①②③④⑤种空位可以分别插入甲、乙、丙三人,则有种。

如果相邻与相离问题同时出现,则先考虑相邻元素,最后考虑相离元素。

考向3 隔板法:利用假定的隔板解决相同元素的分配问题。

题干标准形式一般表述为:将n个相同的元素分给个不同的对象,每个对象至少1个元素,求一共有多少种分法。

解题方法:将n个相同的元素排成一排,之间有n-1个空位,插入m-1块隔板就可以分成m份,最后共有种分法。

例题:赵一的妈妈来学校探望他,带了一篮香蕉让他和好朋友们共同分享。香蕉一共9支,分给寝室内包含赵一在内的四人,需保证每人至少有一支,那么总共有(  )种不同的分法。

A. 40 B. 48 C. 56 D. 64 E. 72

【答案】C

【解析】利用隔板法,最后答案为种。

考向4 方幂法

审题重点:题干信息需要区分“可重复元素”和“不可重复元素”两类元素。

解题方法:一共有“可重复元素不可重复元素”种情况,即“可重复元素”为底数,“不可重复元素”为指数。

例题:从甲市到乙市的大巴上共有20人,沿途共7个停靠点(包括乙市在内),则不同的下车方法共有(  )种。

【答案】B

【解析】第1个人下车有7种方法,第2个人下车有7种方法……故总共有种方法。

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