B公司于2月20日与公益机构C基金会签订书面协议，约定捐赠30万元用于救灾。3月4日，B公司将支票交付C基金会，但未在支票上作任何记载。
3月5日，C基金会为支付D公司购买救灾物品的货款，将自己记载为收款人后，将支票背书转让给D公司。
3月6日，D公司将该支票背书转让给向E公司，用于购买生产原料。后发现，E公司向D公司出售的原料存在严重质量问题。
3月10日，E公司将支票背书转让给F大学，用于设立奖学金。
3月11日，F大学向支票所记载的付款银行请求付款时，银行发现支票上A公司及其财务负责人的签章印章系伪造，遂拒绝付款。
F大学先后向D、E公司进行追索，均遭拒绝。后F大学又向C基金会追索，C基金会向F大学承担票据责任后，分别向B公司和A公司追索，均遭拒绝。
要求：
根据上述资料，回答下列问题。
(1)D公司是否有权拒绝F大学的追索?并说明理由。
(2)C基金会向F大学承担票据责任后，是否有权向B公司进行追索?是否有权要求B公司继续履行赠与义务?并分别说明理由。
(3)C基金会是否有权向A公司追索?并说明理由。
(4)C基金会是否有权向甲追索?并说明理由。