上限

二叉树模型

　　看涨期权的当前价格等于其未来两种可能价值的加权平均值的无风险贴现值。p也被称为风险中性概率，即在这一概率下，所有资产的期望收益率均为无风险收益率r。

B-S-M模型

B-S-M模型是多期的二叉树期权定价模型在极限条件下收敛而成（数学推导过程见John Hull的教材）。

 B—S—M定价模型的六个基本假设：

（1）标的资产价格服从几何布朗运动。

（2）标的资产可以被自由买卖，无交易成本，允许卖空。

（3）期权有效期内，无风险利率r和预期收益率是常数，投资者可以以无风险利率无限制借入或贷出资金。

（4）标的资产价格是连续变动的，即不存在价格的跳跃。

（5）标的资产的价格波动率为常数。

（6）无套利市场。

单步二叉树模型

风险中性概率

 

Black- Scholes- Merton定价模型（B-S-M定价模型）的主要思想：在无套利机会的条件下，构造一个由期权与股票所组成的无风险资产组合，这一组合的收益率必定为无风险利率r，由此得出期权价格满足的随机微分方程，进而求出期权价格。
Cox、Ross和 Rubinstein（1979）证明，在极限条件下，多期的二叉树期权定价模型收敛成B-S模型。
B-S-M定价模型的六个基本假设 1、标的资产价格服从几何布朗运动。 2、标的资产可以被自由买卖，无交易成本，允许卖空。 3、期权有效期内，无风险利率r和预期收益率μ是常数，投资者可以以无风险利率无限制借入或贷出资金。 4、标的资产价格是连续变动的，即不存在价格的跳跃。 5、标的资产的价格波动率为常数。 6、无套利市场

B-S-M定价模型的六个基本假设

1、标的资产价格服从几何布朗运动。

2、标的资产可以被自由买卖，无交易成本，允许卖空。

3、期权有效期内，无风险利率r和预期收益率μ是常数，投资者可以以无风险利率无限制借入或贷出资金。

4、标的资产价格是连续变动的，即不存在价格的跳跃。

5、标的资产的价格波动率为常数。

6、无套利市场

​无孳息标的资产的欧式看涨期权的下限为∶S₀ -  K_e^-rT 

无孳息标的资产的欧式看涨期权的下限为∶K_e-rT - S₀

具有相同行权价格与期限的欧式看跌期权与看涨期权的价格之间满足看跌 - 看涨平价公式。

B—S—M定价模型的六个基本假设：

（1）标的资产价格服从几何布朗运动。

（2）标的资产可以被自由买卖，无交易成本，允许卖空。

（3）期权有效期内，无风险利率r和预期收益率是常数，投资者可以以无风险利率无限制借入或贷出资金。

（4）标的资产价格是连续变动的，即不存在价格的跳跃。

（5）标的资产的价格波动率为常数。

（6）无套利市场。

B—S—M偏微分方程

无红利标的资产欧式看涨期权C和看跌期权P的定价公式为：

其中，

S：无收益标的资产的价格当前价格

σ：无收益标的资产的价格波动率

K：欧式看涨期权的执行价格

T：欧式看涨期权的到期时间

C：欧式看涨期权的价格

N(d)：标准正态分布函数，且N(-d)=1-N(d)（具体值可以查标准正态概率值表）

在风险中性的前提下，预期收益率μ用无风险利率r替代。

1.存续期内支付红利的模型

若在期权存续期内，标的资产支付红利已知（或红利率已知），红利支付导致标的资产价格下降，看涨期权的价值也随之下降。

2.股指期权定价

股指期权是以股票指数为标的资产的期权。股票指数成分股分红的差异性以及该期权实行现金交割的特性均要求 B-S-M定价公式进行修正。

3.其他标的期权

常见的其他标的期权包含利率期权、货币期权、期货期权和权证等，这些欧式期权均可采用B-S-M模型定价，