在期货投资分析中，一元线性回归是一种重要的统计工具，用于研究两个变量之间的线性关系。为了确保模型的有效性和预测准确性，我们需要进行残差分析。残差分析可以帮助我们评估模型的拟合优度，并检测是否存在异常值或模型假设是否成立。
残差的概念
残差是指实际观测值与模型预测值之间的差异，即 (e_i = y_i - \hat{y}_i)。在一元线性回归模型中，残差可以用来评估模型的拟合效果。如果残差较小且随机分布，则说明模型拟合较好。
残差图
残差图是残差分析的重要工具，通过绘制残差与自变量或因变量的关系图，可以直观地观察残差的分布情况。
- 绘制残差图：以自变量x为横轴，残差e为纵轴，绘制散点图。理想情况下，残差应随机分布在零值附近。
- 检查残差的随机性：如果残差图显示出某种模式（如趋势、周期性等），则说明模型可能存在不足，需要进一步改进。
残差正态性检验
残差正态性检验用于检验残差是否服从正态分布。常用的检验方法有Jarque-Bera检验和Shapiro-Wilk检验。
- Jarque-Bera检验：该检验基于样本偏度和峰度，计算统计量JB，公式为 (JB = \frac{n}{6} (S^2 + \frac{(K-3)^2}{4}))，其中n是样本容量，S是样本偏度，K是样本峰度。如果p值大于显著性水平α（通常为0.05），则接受原假设，认为残差服从正态分布。
- Shapiro-Wilk检验：该检验适用于小样本，直接计算W统计量，如果p值大于显著性水平α，则接受原假设，认为残差服从正态分布。
示例应用
假设我们正在研究黄金价格(y)与美元指数(x)之间的关系，并且已经收集了过去一个月的数据。通过上述过程，我们可以建立一个一元线性回归模型，并对该模型进行残差分析。
具体步骤如下：
- 数据准备：收集黄金价格和美元指数的历史数据。
- 建立回归模型：使用最小二乘法估计回归系数，得到回归方程。
- 计算残差：根据回归方程计算每个观测值的残差。
- 绘制残差图：以美元指数x为横轴，残差e为纵轴，绘制散点图。
- 进行残差正态性检验：使用Jarque-Bera检验或Shapiro-Wilk检验，检验残差是否服从正态分布。
应用实例
以2015年2月2日至2015年3月16日期间的美元指数(x)为解释变量，同期的黄金现货价格(y，美元/盎司)为被解释变量，样本容量为31。通过散点图可以直观地观察两者之间的关系（见图3-10）。
图3-10 黄金现货价格与美元指数的散点图
1275.008o1250.00o O1225.00o o1200.001175.009o1150.0094.0096.0098.00100.00X
通过建立一元线性回归模型并进行残差分析，我们可以发现残差图显示残差随机分布在零值附近，且Jarque-Bera检验的p值为0.4223，大于显著性水平0.05，说明残差服从正态分布，模型拟合良好。
总之，在进行期货投资分析时，掌握一元线性回归的残差分析技术至关重要，它能够帮助投资者更好地理解和预测市场价格变动趋势。
科目：期货投资分析
考点：一元线性回归分析
