证券组合可行域和有效边界

1、证券选择偏好规则

（1）对于两个具有相同风险的证券组合，理性投资者更倾向于选择收益率更高的组合。

（2）对于两个具有相同预期收益率的证券组合，理性投资者更倾向于选择风险更小的组合。

2、有效边界的形成与图形

有效边界是证券投资组合理论中的一个重要概念，其形成依赖于两个基本假设：

一是资产收益率服从正态分布；

二是投资者追求期望收益最大化，而不是单纯追求风险最小化或者收益最大化。

在这两个假设的基础上，有效边界可以被看作投资组合中 最优化的选择。

有效边界是指在收益—风险约束条件下，能够以最小的风险取得最大的收益的各种证券的组合，其他组合位于有效边界之下或之外。

有效边界的形成依赖于资产的收益率、风险以及它们之间的相关性。

在有效边界上的投资组合都是最优化的选择，因为它们可以在给定风险水平下获得最高的期望收益。

从图形上看，有效边界是可行域的上半边界。

3、有效边界的获取

有效边界的计算可以通过一系列数学公式来完成，例如均值—方差模型和协方差矩阵。这些公式可以帮助投资者确定最优的资产配置方案，在不同的风险水平下提供最优的投资组合。

投资者可以通过以下步骤来构建有效边界：

第一，收集各项资产的历史数据，并计算出各自的预期收益率和协方差矩阵。

第二，利用均值一方差模型计算出各种可能的投资组合的预期收益率和风险。

第三，绘制出所有投资组合的预期收益率和风险的散点图，并标出有效边界。

最后，根据投资者的风险偏好选择最优的投资组合。

4、有效边界的局限

1）均值方差模型只考虑了收益率和风险两个方面，而忽略了其他因素，如流动性、可得性等；

2）有效边界假设投资者是理性的，能够准确地评估风险和收益，在实际情况下，投资者往往受到情绪和行为偏差的影响，难以做出理性的决策；

3）均值一方差模型假设资产的收益率服从正态分布，但实际的资产收益率往往呈现出非正态分布的特征，这可能导致有效边界假设的不准确。

（一）发展历程

证券投资组合理论（MPT）最早是由美国著名经济学家哈里·马科维茨于1952年提出。

该理论用数学方式阐明了投资分散化的原理，提出了资产组合理论，成为证券投资组合理论体系的起点。

马科维茨分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预期收益水平和风险水平，建立均值—方差模型来阐述如何全盘考虑收益和风险两个目标，从而进行投资决策。

马科维茨资产组合理论解释了两个证券投资活动中的关键问题：

一是为什么需要采取证券组合投资？关于这个问题，马科维茨认为典型的投资者是风险回避者，他们在追求高预期收益的同时会尽量回避风险。

马科维茨开创性地用方差来度量衡量股票的风险，使股票风险得以量化，并据此提出了以均值一方差分析为基础，追求实现最大化效用的组合投资理论。

二是证券投资者如何利用证券组合进行最优的投资？

针对这个问题，马科维茨提出了“有效投资组合”概念，也即在给定期望风险水平下期望收益最大化，或在给定 期望收益水平下期望风险最小化的投资组合，其又被称为有效前沿或有效边界。

1963年，马科维茨的学生威廉·夏普提出了一种简化的计算方法，这一方法通过建立“单因素模型”来实现。在此基础上后来发展出“多因素模型”，对实际结果计算更为精确。这一简化形式使得将证券投资组合理论应用于实际市场成为可能。

1964—1966年，威廉·夏普、约翰·林特耐和简·摩辛三人提出了著名的资本资产定价模型【CAPM】。

1976年，史蒂夫·罗斯突破性发展资本资产定价模型，提出套利定价理论【APT】。

到1980年，证券投资组合理论的大厦已基本完成。

在此之后，世界各国学者所做的只是一些修补和改进工作。例如，对影响证券收益率的因素进行进一步研究，对各种市场“异象”进行实证和理论分析，将期权定价的假设进行修改等。

当今，均值—方差模型被广泛应用于不同类型证券之间的投资分配上，如对债券、股票、不动产等大类资产进行配置，而多因素模型则被广泛应用在证券组合中普通股之间的投资分配上。

近年来，随着数学模型、运筹学还有计算机技术的大发展，涌现出了各种分析和研究投资组合理论的新技术和新方法，例如行为投资组合理论【BPT】等。

（二）发展方向

证券投资组合理论一直处于发展之中，目前的前沿研究方向包括：

连续时间条件下的跨期投资和具有动态特征资产定价研究，考虑多个全球性影响因子和非线性关系的模型，行为金融投资学的进一步量化研究，描述极端市场情况下投资现象的非正态分布研究，以及基于大数据和复杂计算的量化模型研究等。

1、连续条件下的投资组合问题：传统的证券投资组合理论通常基于离散时间点进行决策，随着技术的进步和数据的可获得性增加，连续时间下的投资组合管理可以帮助投资者精确地维护投资组合。

2、动态投资组合模型：传统的证券投资组合理论通常假设投资者的投资决策是静态的，实际上投资者在不同市场条件下可能调整其投资组合。因此，未来投资组合理论将更加关注动态的投资组合模型。

3、脉冲最优控制理论：脉冲最优控制理论是一种优化方法，用于处理具有突发性决策变化的问题。在投资组合管理中，脉冲最优控制理论可以应用于处理市场突发事件、政策变化等因素对投资策略的影响。该理论可以帮助投资者更好地应对市场风险和不确定性。

4、数据科学和人工智能：随着数据科学和人工智能技术的快速发展，投资组合理论也将受益于这些技术的应用。数据科学和人工智能的数据分析和模型建立能力，可帮助投资者更好地理解市场趋势、预测价格变动和风险，将为投资组合管理提供更多的机会和挑战。

（一）收益及其度量

任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计算公式为：

收益率=（收入-支出）/期初市值×100%

支出投资期限一般用年来表示；如果期限不是整数，则转换为年。

在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益和价差收益之和，其收益率（r）的计算公式为：

r=（红利+期末市价总值-期初市价总值）/期初市值

在实际中，通常使用历史数据来估计期望收益率。假设证券的月或年实际收益率为r，（t=1，2，…，n），那么估计期望收益率（r）的计算公式为：

（二）风险及其度量

如果投资者以期望收益率为依据进行决策，则应该意识到可能得不到期望收益率的风险。

实际收益率与期望收益率会有偏差，期望收益率是使可能的实际值与预测值的平均偏差达到最小的点估计值。

可能的收益率越分散，与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。

因此，风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。

在数学上，这种偏离程度称为收益率的方差。

由于证券投资组合是由一定数量的单一证券构成，每只证券占有一定的比例，因此可将证券投资组合视为一只证券来计算期望收益率和方差。

（一）两种证券的收益和风险

假设投资组合P中有两种证券A和B，某投资者将一笔资金以XA的比例投资于证券A，以XB的比例投资于证券B，且XA+XB=1。到期时证券A的收益率为rA，证券B的收益率为rB，则投资组合P的收益率rP为：

rP=XA×rA+XB×rB

其中，XA、XB可以为负，XA<0 表示该组合卖空了证券A并将所得的资金连同自有资金买入证券B。

投资者在进行投资决策时并不知道rA和rB的确切值，因而rA和rB应为随机变量，对其分布的简化描述是它们的期望值和方差。

如果建立纵轴为预期收益率、横轴为标准差的坐标系，那么任意一个证券都可以在坐标系中找到对应的一个点。

同理，对于两种证券A 、B的组合，可以由组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一点，该点随组合的权重而变化，轨迹是经过证券A 、B的一条连续曲线，这条曲线称为证券A、B的组合线，描述了证券A 、B的所有可能的配置组合。

（一）两种证券组合的可行域

1、完全正相关

【完全正相关时的组合线】

2、完全负相关

【完全负相关时的组合线】

3、不相关情形

【不相关情形时的组合线】

4、组合线的一般情形

【结论】

相关系数决定结合线在A点和B点之间的弯曲程度。

随着ρ_AB的增大，弯曲程度将降低。

当ρ_AB=1时，弯曲程度最小，呈直线；

当ρ_AB=-1时，弯曲程度最大，呈折线；

不相关是一种中间状态，比正完全相关弯曲程度大，比负完全相关弯曲程度小。

如果证券组合是由多个证券（不少于3个）所组成的，那么组合可行域是所有证券组合构成的均值—方差坐标系中的一个区域。

根据是否可以卖空，可行域可以分为两种情况：

1）如果不允许卖空，那么多种证券所能得到的所有可行组合将落入并填满坐标系中每两种证券的组合线围成的区域。

2）如果允许卖空，那么多种证券组合的可行域就是包含该有限区域的一个无限区域。

投资者在所有可行的投资组合中进行选择，如果证券组合的特征由期望收益率和收益率方差来表示，那么投资者需要在可行域中寻找最好的点，但实际上不可能在可行域中找到一个点被所有投资者都认为是最好的。

按照投资者的共同偏好规则（总是选择方差较小、期望收益率较高的组合），排除投资组合中那些被所有投资者都认为差的组合，余下的这些组合称为有效证券组合。

有效证券组合是有效边界上的点所对应的组合，其特征是在期望收益率水平相同的组合中，其方差是最小的；

在方差水平相同的组合中，其期望收益率是最高的。

1、投资者的个人偏好与无差异曲线

（1）无差异曲线的含义

按照投资者的共同偏好规则，不能完全区分某些证券组合的优劣程度。

证券组合A．B的预期收益率和风险之间的关系

根据投资者自身的特定偏好，坐标系上可以有无数个满意程度相同的组合，当把这些无差异组合连成一条曲线时，就形成了无差异曲线。

在曲线上的每一个点，投资者都认为他们得到了相同的满足感，不能选出其中更好的那一个。

（2）无差异曲线的主要特点

①无差异曲线是由左至右向上弯曲的曲线。

②每个投资者的无差异曲线形成连续密布整个平面又互不相交的曲线簇。

③同一条无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度相同；不同无差异曲线上的组合给投资者带来的满意程度不同。

④无差异曲线的位置越高，其上的组合给投资者带来的满意程度就越高。

⑤无差异曲线向上弯曲的程度大小反映投资者承受风险的能力强弱，无差异曲线向上弯曲的程度大，投资者承受风险的能力越弱。

（3）无差异曲线和投资者风险偏好之间的关系

对厌恶风险的投资者来说，风险越大，对风险的补偿要求越高，因此无差异曲线表现为一条向右凸的曲线。

曲线越陡，投资者对风险增加要求的收益补偿越高，投资者对风险的厌恶程度越强烈；

曲线越平坦，投资者的风险厌恶程度越弱。

对风险无明显偏好的投资者而言，无差异曲线为水平线，表示他们对投资风险的大小毫不在意，只关心期望收益率的大小。

不同偏好投资者的无差异曲线

2、最优证券组合的选择原理

最优证券组合是投资者的无差异曲线与有效边界的切点。无差异曲线位置越靠上，投资者满意程度越高，因而投资者需要在有效边界上找到所在无差异曲线位置最高的证券组合，也即投资者的最优证券组合，其正是无差异曲线簇与有效边界的切点。