套利定价理论

1、所有投资者都依据马科维茨证券投资组合理论选择资产组合，即使用预期收益率和标准差这两个指标来选择投资组合，选择资产和资产组合的决策过程是一样的。

2、所有投资者具有相同的投资期限，投资者的行为是短视的，不考虑投资决策对投资期限届满之后任何事件的影响。

3、所有投资者以相同的方法对信息进行分析和处理，具有相同的预期。所有投资者对风险资产的预期收益、方差和协方差的估计是相同的，进而形成了对风险资产及其组合的预期收益率、标准差以及相互之间协方差的一致看法。换句话说，无论证券价格如何，所有投资者的投资顺序均相同。

4、资本市场不存在摩擦，没有税负，没有交易成本。

5、所有资产都是无限可分的，即资产的任何一部分都是可以单独买卖的。

6、所有投资者都具有风险厌恶的特征，即面临其他条件相同的两种组合时，他们将选择具有较低风险也即标准差较小的组合。

7、投资者永不满足，即面临其他条件相同的两种组合时，他们将选择具有较高预期收益率的组合。

8、存在无风险利率，且所有投资者都能以这一利率水平不受限制地贷出（即投资）或借入资金。

9、市场是完全竞争的，也就是说市场中存在大量的投资者，是价格的接受者，单个投资者的交易行为对证券价格几乎没有影响。

10、信息完全对称，所有投资者均可以及时、免费地获得所有信息。

上述假设条件也可概括为以下三项假设：

假设1：投资者都依据期望收益率评价证券组合的收益水平，依据方差（或标准差）评价证券组合的风险水平，并按照投资者共同偏好规则选择最优证券组合。

假设2：投资者对证券的收益、风险及证券间的关联性具有完全相同的预期。

假设3：资本市场没有摩擦。

假设1和假设2是对投资者的规范，假设3是对现实市场的简化。

资本资产定价模型认为，对于任一资产p而言，其期望收益率可以用如下公式表示：

CAPM在衡量证券风险方面，以β系数代替了证券投资组合理论中的方差—协方差，不仅大大简化了投资组合选择的运算过程，使马科维茨的投资组合选择理论朝现实世界的应用迈进了一大步，也使证券理论从以往的定性分析转入定量分析，从规范性转入实证性，进而对证券投资的理论研究和实际操作，甚至整个金融理论与实践的发展都产生了巨大影响，成为现代金融学的理论基础。

1、无风险证券对有效边界的影响

在上述假设条件下，投资者面对的市场是一个存在无风险证券的市场，并依照证券投资组合理论构建最优证券组合。投资者的证券组合也包含了无风险证券。

通过将无风险证券F与每个可行的证券组合再组合，增加了证券组合的种类，从而使得原有的证券组合的可行域得以扩大。新的可行域既含有无风险证券，又含有原有风险证券组合，同时也含因无风险证券F与原有风险证券组合再组合而产生的新证券组合。

另一方面，因为无风险证券F与任意风险证券或组合P进行组合时，其组合线恰好是一条由无风险证券F出发并经过风险证券或组合P的射线FP，从而无风险证券F与切点证券组合T 进行组合的组合线便是射线FT，并成为新可行域的上部边界有效边界。

无风险资产与风险证券的组合线

2、切点证券组合T的经济意义

有效边界FT上的切点证券组合T具有三个重要的特征：

（1）T是有效组合中唯一一个不含无风险证券而仅由风险证券构成的组合；

（2）有效边界FT上的任意证券组合，均可视为无风险证券F与 T的再组合；

（3）切点证券组合T完全由市场确定，与投资者的偏好无关。

这三个重要特征决定了切点证券组合T在资本资产定价模型中占有核心地位。

切点证券组合T的经济意义：

首先，所有投资者拥有完全相同的有效边界。

由于一种证券或组合在均值标准差平面上的位置完全由该证券或组合的期望收益率和标准差所确定，并假定所有投资者 对证券的收益、风险及证券间的关联性具有完全相同的预期，因此，同一种证券或组合在均值标准差平面上的位置对不同的投资者来说是完全相同的。由此可见，所有投资者在均值标准差平面上面对完全相同的证券组合可行域，进而面对完全相同的有效边界。也就是说，所有投资者拥有同一个证券组合可行域和有效边界。

最优证券组合P

切点证券组合T的经济意义：

其次，投资者对依据自己风险偏好所选择的最优证券组合P 进行投资，其风险投资部分均可视为对T的投资，即每个投资者按照各自的偏好购买各种证券，其最终结果是每个投资者手中持有的全部风险证券所形成的风险证券组合在结构上恰好与切点证券组合T相同。

最后，当市场处于均衡状态时，最优风险证券组合T就等于市场组合。

市场组合是指由风险证券构成，并且其成员证券的投资比例与整个市场上风险证券的相对市值比例一致的证券组合。

市场组合：由风险证券构成，并且其成员证券的投资比例与整个市场上风险证券的相对市值比例一致的证券组合，一般用M表示。如果市场上共有n种风险证券正在流通，分别记为证券1、证券2……证券n，那么市场组合M中包含了这n种风险证券，则风险证券i在市场组合M中的投资比例xi为：

3、资本市场线方程

在资本资产定价模型假设下，当市场达到均衡时，市场组合M成为一个有效组合；所有有效组合都可视为无风险证券F与市场组合M的再组合。

在均值标准差平面上，所有有效组合刚好构成连接无风险资产F与市场组合M的射线FM，这条射线被称为资本市场线。

3、资本市场线方程

资本市场线揭示了有效组合的收益和风险之间的均衡关系，这种均衡关系可以用资本市场线的方程来描述：

E（r_p）代表有效组合P的期望收益率；σ_P代表有效组合P的标准差，E（r_M）代表市场组合M的期望收益率；σ_M代表市场组合M的标准差；rF代表无风险证券收益率。

4、资本市场线的经济意义

资本市场线方程对有效组合的期望收益率和风险之间的关系提供了十分完整的阐述。有效组合的期望收益率由两部分构成：

①无风险利率r_F：由时间创造，是对放弃即期消费的补偿；

②风险溢价：是对承担风险的补偿，与承担的风险的大小成正比，系数代表了对单位风险的补偿，称为风险的价格。

1、证券市场线方程

资本市场线只是揭示了有效组合的收益风险均衡关系，而没有给出任意证券或组合的收益风险关系。

首先建立任意单个证券的收益风险关系，之后将其推广到任意证券组合。　

由资本市场线所反映的关系可以看出，在均衡状态下，市场对有效组合的风险（标准差）提供补偿。而有效组合的风险（标准差）由构成该有效组合的各个成员证券的风险共同合成，因而市场对有效组合的风险补偿可视为市场对各个成员证券的风 险补偿的总和，或说市场对有效组合的风险补偿可以按一定的比例分配给各个成员证券。当然这种分配应按各个成员证券对有效组合风险贡献的大小来分配。不难理解，实现这种分配就意味着在各个证券的收益风险之间建立了某种关系。

为实现这种分配，首先要计算各个成员证券对有效组合风险的贡献大小。鉴于市场组合M也是有效组合，因此将市场组合M作为研究对象，分析M中各个成员证券对市场组合风险的贡献大小，之后再按照贡献大小把市场组合的风险补偿分配到各个 成员证券。

无论单个证券还是证券组合，均可将其β系数作为风险的合理测定，其期望收益与由β系数测定的系统风险之间存在线性关系。这个关系在以E（Rp）为纵坐标、βp为横坐标的坐标系中代表一条直线，这条直线被称为证券市场线。

证券市场线公式：

E(R_P) = R_f + [ E(R_M) - R_f] β_P

2、证券市场线的经济意义

证券市场线很清晰地反映了风险资产的预期报酬率与其所承担的系统风险β系数之间呈线性关系，充分体现了风险与收益相匹配的原则。

1）无风险利率r_F：由时间创造，是对放弃即期消费的补偿；

2）风险溢价：对承担风险的补偿，它与承担的风险β_p的大小成正比，系数代表了对单位风险的补偿，称为风险的价格。

1、β系数的含义

（1）β系数反映证券或证券组合对市场组合方差的贡献率。

（2）β系数反映证券或组合的收益水平对市场平均收益水平变化的敏感性。证券市场线可以改写为：

从该式可以看出，证券或组合的收益与市场指数收益呈线性相关，β系数为直线斜率，反映了证券或组合的收益水平对市场平均收益水平变化的敏感性。β系数值绝对值越大，表明证券或组合对市场指数的敏感性越大。

（3）β系数是衡量证券承担系统风险水平的指数。根据证券市场线，可以得到组合的风险为：

2、β系数的应用

1）证券的选择

①牛市时，在估值优势相差不大的情况下，投资者会选择β系数较大的股票，以期获得较高的收益。

②熊市时，投资者会选择β系数较小的股票，以减少股票下跌的损失。

2）风险控制

风险控制部门或投资者通常会控制β系数过高的证券投资比例。

针对衍生证券的对冲交易，通常会利用β系数控制对冲的衍生证券头寸。

3）投资组合绩效评价

评价组合业绩是基于风险调整后的收益进行考量，既要考虑组合收益的高低，也要考虑组合所承担风险的大小。比如特雷诺比率就衡量了每单位系统性风险对应的超额收益。

3）在均衡状态下，上述两个E（r_i）应有相同的值。均衡期初价格应为：

当实际价格低于均衡价格时，说明该证券是廉价证券，此时应购买该证券；

当实际价格高于均衡价格时，则应卖出该证券，而将资金转向购买其他廉价证券。

2、资产配置

资本资产定价模型根据对市场走势的预测来选择具有不同β系数的证券或组合以获得较高收益或规避市场风险：

1）牛市时，应选择高β系数的证券或组合，成倍放大市场收益率，带来较高的收益；

2）熊市时，应选择低β系数的证券或组合，以减少因市场下跌而造成的损失。

3、量化投资

CAPM中的β系数本质上反映了不同证券的系统性风险大小，通过对投资组合的β系数进行管理，可以衍生出一系列量化投资策略。

（1）纯Alpha策略：

Alpha用于描述一个投资策略打败市场的能力。因此Alpha 也经常被称为“超额回报”。

有时候投资者可能特别看好某几个行业或某几只股票， 认为其能明显跑赢大盘，但担心股票市场出现系统性风险（大盘大幅下跌导致个股普遍下跌）。

在允许做空的情况下，就可以构建一个多空对冲组合，一方面买入看好的股票，另一方面做空其他股票、指数或股指期货，通过量化模型来动态调整多空头寸的相对比例，使整个组合的β系数始终趋近于0，这样便能很大程度上剔除系统性风险， 只赚取选股带来的主动收益 Alpha，但缺点是在大盘上涨时会损失被动收益Beta。

（2）纯Beta策略：一些被动投资的产品，衡量其业绩的标准不是收益的高低，而是相较于业绩基准的跟踪误差。例如，若一只被动ETF跟踪的是沪深300指数，则该基金的实际表现与沪深300越接近，则代表其业绩越好。最大程度减小跟踪误差的方法，是构建与指数完全相同的股票组合，即买入指数全部成分股，并且各股票的权重也与指数一致，但这种方法的弊端是交易成本太高，且某些股票可能无法买到所需的数量。

此时，可以利用量化模型在所有股票中选取尽可能少的股票来构建一个β系数接近于1的股票组合，以此获得与市场组合十分接近的收益，并且大大降低交易成本。

除了上述两个量化投资策略外，还有一些更加灵活的策略，例如Smart Beta等， 本质上也是运用CAPM的基本原理去调整资产组合的β系数，来实现想要实现的收益和抗风险能力。

资本资产定价模型表明，β系数作为衡量系统风险的指标，与收益水平是正相关的，即风险越大，收益越高。

由于资本资产定价模型是建立在对现实市场简化的基础 上，因而现实市场中的β系数与收益是否具有正相关关系，是否还有更合理的度量工具用以解释不同证券的收益差别，就是所谓的资本资产定价模型的有效性问题。

最近几十年来，资本资产定价模型的有效性一直是广泛争论的焦点。

最初测试表明，β系数与收益呈正相关，因而用β系数度量风险具有合理性，纵使存在其他度量风险的工具（如方差能解释实际收益的差别）。然而1977年罗尔指出，由于测试时使用的是市场组合的替代品，对资本资产定价模型的所有测试只能表明该模型实用性的强弱，而不能说明该模型本身有效与否。

套利定价理论的出发点是假设资产的收益率与未知数量的未知因素相联系，其核心思想是对于一个充分多元化的投资组合而言，只需几个共同因素就可以解释风险补偿的来源以及影响程度。

此外，每个投资者都想使用套利组合在不增加风险的情况下 增加组合的收益率，但在一个有效的均衡市场中，不存在无风险的套利机会。

套利定价理论要研究的是，如果每个投资者对各种证券的预期收益和市场敏感性都有相同估计的话，各种证券的均衡价格是如何形成的。

其分析思路是：

首先，分析市场是否处于均衡状态；其次，如果市场是非均衡的，分析投资者会如何行动；再次，分析投资者的行动会如何影响市场并最终使市场达到均衡；最后，分析在市场均衡状态下，证券的预期收益由什么决定。

套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场形成（亦即市场均衡价格形成）的一个决定因素。

套利行为：利用同一实物资产或证券的不同价格来赚取无风险利润的行为。

当投资者可以构造一个能产生安全利润的零投资证券组合时，套利机会就出现了。显然，任何投资者在套利资产组合中都愿意尽可能多地持有这一头寸。

最典型的例子就是当“一价定律”被违反时，投资者利用同一种货币在不同市场上的价格差异，在价格水平较低的市场上买入该种货币，再在价格水平较高的市场上卖出，以获取价差收益的行为。

这种套利行为直接改变了这两个市场上该种货币的供求，最终导致两者的供求实现均衡。

在一个高度竞争的、流动性很强的市场体系中，由于电子通信设备和实时执行操作技术的日益发达，套利机会已经变得非常少，而且往往这种套利机会一被发现就会立即引起市场的反应，机会稍纵即逝。

这种套利行为推动着有效市场的形成，在证券市场体系中也是如此。

套利定价理论认为，如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险的套利机会。由于理性投资者具有厌恶风险和追求收益最大化的行为特征，因此投资者一旦发现有套利机会就会设法利用它们。随着套利者的买进和卖出，有价证券的供求状况将随之改变，套利空间逐渐减少直至消失，有价证券的均衡价格得以实现因此，这种推论实际上也隐含了对一价定律的认同。

套利机会不仅存在于单一证券上，还存在于相似的证券或组合中。也就是说，投资者还可以对一些相似的证券或组合通过部分买入，部分卖出来策略进行套利。

套利定价理论为投资者提供了一种替代性的方法，来理解市场中的风险与收益率间的均衡关系，其在资产定价理论中的地位已不亚于CAPM，套利定价理论也与证券投资组合理论、资本资产定价模型、期权定价模型等一起构成了现代金融学的理论基础。

1、投资者是追求收益的，同时也是厌恶风险的；

2、所有证券的收益都受到一个共同因素F的影响，并且证券的收益率具有如下构成形式：

3、投资者能够发现市场上是否存在套利机会，并利用该机会进行套利。

式中，r_i——证券i的实际收益率；

　a_i——因素指标F₁为0时证券i的收益率；

　b_i——因素指标F₁的系数，也称灵敏度系数；

　F₁——影响证券的那个共同因素F1的指标值；

　ε_i——证券i收益率r_i的残差项。

• 套利：人们不需要追加投资就可获得收益的买卖行为。

• 从经济学的角度讲，是人们利用同一资产在不同市场间的定价不一致，通过资金的转移而实现无风险收益的行为。

在套利定价理论中，套利机会被套利组合所描述。

套利组合：满足下述三个条件的证券组合：

1、该组合中各种证券的权数满足W₁+W₂+…+W_n=0；

2、该组合因素灵敏度系数为零，且即W₁b₁+W₂b₂+…+W_nb_n=0，b_i表示证券i的因素灵敏度系数；

3、该组合具有正的期望收益率，即：W₁Er₁+W₂Er₂+…+W_nEr_n>0，其中，Er_i表示证券i的期望收益率。

套利组合的特征表明：投资者如果能发现套利组合并持有它，那他就可以实现不需要追加投资又可获得收益的套利交易，即投资者是通过持有套利组合的方式进行套利的。

套利定价理论认为：如果市场上不存在套利组合，那么市场就不存在套利机会。

【例】假如市场上有三种股票，每个投资者都认为它们满足单因素模型，且具有以下的期望收益率和因素敏感度：

这些期望收益率因素敏感度是否表示一种均衡状态？若不是，股票的价格和期望收益率将发生什么变化来达到均衡？

【例】

因此，只要满足下式，就可以获得正的期望收益率：

0.15w₁+0.21w₂+0.12w₃

=（-0.15×4/7-0.21×3/7+0.12）w₃

=-0.39w₃/7>0

只要w₃<0，该条件就能得到满足。

当取w₃=-2时，w₁=8/7，w₂=6/7，得该套利组合的期望收益率是11.14%。

【例】假设原有组合投资资本为14万元，当w3=-2时，构建套利组合就需要借入28万元证券3并卖空，将该资金分别买入证券1和证券2市值为16万元【8/7×14】和12万元【6/7×14】，从而构建一个新的套利组合。这一组合在没有增加新的自由资本投入下就使得原有组合获得增量收益。

【例】

若不能卖空，对W₃就会有所限制。

如果原有组合中投资者持有证券3的比例是40%，则在进行套利操作时，投资者最多可以将手中的证券3全部卖出，因此可以增加最多期望收益率的组合是：

w₁=-4w₃/7=4/7×0.4=0.23

w₂=-3w₃/7=3/7×0.4=0.17

w₃=-0.4

【例】

新的组合中不再持有证券3，增加持有证券1和证券2，比例是23%、17%。进行上述操作后，可以增加的期望收益率为：

（0.15w₁+0.21w₂+0.12w₃）×100%

=（-0.15×4/7-0.21×3/7+0.12）w₃

=-0.39/7×（-0.4）

=2.23%

套利组合理论认为，当市场上存在套利机会时，投资者会不断进行套利交易，从而不断推动证券的价格向套利机会消失的方向变动，直到套利机会消失为止，此时证券的价格即为均衡价格，市场也就进入均衡状态。

此时，证券或组合的期望收益率具有下述构成形式：

Er_i是证券i的期望收益率；λ₀是与证券和因素F无关的常数；

λ₁是对因素F具有单位敏感性的因素风险溢价。

套利定价模型表明：

市场均衡状态下，证券或组合的期望收益率完全由它所承担的因素风险所决定；

承担相同因素风险的证券或证券组合都应该具有相同期望收益率；

期望收益率与因素风险的关系，可由期望收益率的因素敏感性的线性函数反映。

套利定价模型是在假定市场上所有证券仅受到一个共同因素影响的前提条件下得出的。

事实上，在多因素共同影响所有证券的情况下，套利定价模型也是成立的，其一般表现形式为：

Er_i是证券i的期望收益率；

λ₀是与证券和因素F无关的常数；

b_iN是证券i对第N个影响因素的灵敏度系数；

λ_N是对因素F_N具有单位敏感性的因素风险溢价。

1、在运用套利定价模型进行资产组合管理时，按照证券收益的影响因素是否已知，可分别应用于以下两种情况：

1）事先仅是猜测某些因素可能是证券收益的影响因素，但并不确定知道这些因素中，哪些因素对证券收益有广泛而特定的影响，哪些因素没有时，可以运用统计分析模型对证券的历史数据进行分析，以分离出那些统计上显著影响证券收益的主要因素。

2）明确确定某些因素与证券收益有关，对证券的历史数据进行回归以获得相应的灵敏度系数，再预测证券的收益。

【例】罗尔与罗斯利用套利定价模型对美国股票市场上市股票的影响因素进行了实证分析，使用的数据是纽约股票交易所上市股票的日收益率数据，样本区间从1962年7月5日到1972年12月31日。

实证结果发现，下述四个宏观经济变量影响证券收益：工业产值指数、未预期的通货膨胀率、投机级债券与高等级债券收益率差额、长期政府债券与短期政府债券收益率差额。

假定通过回归分析知某个证券A对上述四因素的灵敏度系数依次为：b₁=1.2、b₂=-0.6、b₃=0.4、b₄=0.8。已知无风险利率为5％；工业生产增长从预期的4％升至6％；通货膨胀率预期为3％，实际为-1％；投机级债券与高等级债券收益率差额为3％；长、短期政府债券收益率差额为-2％。

【例】

根据公式：

预期证券A的收益率为：

5%+1.2×2%-0.6×（-4%）+0.4×3%+0.8×（-2%）

=9.4%

2、按照投资风格是积极或消极，可分别应用于以下情况：

（1）如果把套利定价理论应用于消极的组合管理，投资者可以在已确定因素的情况下，建立一个最佳风险组合的资产组合，即β值的最佳组合。这种策略对只包含几种不同资产类型的大资产组合比较合适，因为它充分利用了不同类型资产对不同因素变动具有不同敏感度的特点。例如债券和股票的收益率一般对利率因素的反应是相反的；零售业的股票比一般股票对通货膨胀率更敏感等。所以当资产组合很大时，各组合部分的特殊风险就被分散掉了。

（2）在积极的资产组合管理中，可以利用对因素非预期波动的挖掘，判断资产价值是被高估还是被低估，并以此选择资产、调整资产组合。例如如果公认的通货膨胀率是3%，而组合管理者预测其应当为1%，那么对该组合管理者来说，意外的通货膨胀率就是-2%，投资者依此估算的资产收益率就会低于市场公认的收益率，投资者可据此调整资产组合，卖出价值被高估的资产。如果该组合管理者的预测被证明是正确的，他获得的利润就是超额利润。

套利定价模型也存在四个方面的缺陷：

1、虽然APT比CAPM更灵活，但也更复杂。CAPM只考虑一个因素—市场风险，而APT则考虑多个因素，需要进行大量研究才能确定证券对各种宏观经济风险的敏感程度。

2、APT中的因素种类以及选取的数量都是主观选择，这意味着投资者根据他们的不同选择会得到不同的结果。

3、一些因素对证券收益的影响效果在不同时间段可能存在明显差异，在利用历史数据进行回归分析时，如果选取的时间段不合适，容易得出错误的结论。

4、由于APT中生成资产收益的多因素模型中包括残差风险，而这一风险只有在组合中存在大量资产时才能被忽略，因此， APT是一种极限意义上成立的资产定价理论，对实际有限的资产组合而言，其指导意义受到一定限制。