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概率及概率分布

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概率及概率分布考点解析

所属考试：银行从业

授课老师：赵磊

所属科目：中级风险管理

考点标签：了解

所属章节：第一章风险管理基础/第三节风险管理定量基础 /概率及概率分布

所属版本：

概率及概率分布介绍

（1）随机事件与概率

不确定性事件：在相同的条件下重复一个行为或试验，所出现的结果有多种，但具体是哪种结果事前不可预知。

确定性事件：在相同的条件下重复同一行为或试验，出现的结果是相同的。

（2）随机变量及其概率分布

①离散型随机变量：列举法、表格法

②连续型随机变量：概率密度函数、累积概率分布函数

（3）随机变量的期望、方差和协方差

期望	随机变量的概率加权和。
方差	描述随机变量偏离其期望值的程度。当一个随机变量取值以很大的可能性偏离其期望值时，其方差就比较大，反之方差较小。
标准差	通常将随机变量方差的算术平方根称为标准差或波动率。
线性变换	风险管理中通常需要关注多个变量的线性组合。例如，分析投资组合的期望、方差等统计规律时，要对变量进行线性变换后再计算期望和方差。
协方差与相关系数	协方差Cov（X,Y）可以用来度量不同随机变量之间的相关性。取值是负无穷到正无穷。相关系数的取值范围为-1~1。当相关系数等于-1时，表示X和Y完全负相关；当相关系数等于1时，表示X和Y完全正相关；当相关系数等于零时，表示X和Y不相关，此时Cov（X,Y）=0。相关系数越大，表明X和Y相关程度越高。

（4）一些重要的概率分布（2023新增）

二项分布	描述只有两种可能结果的多次重复事件的离散型随机变量的概率分布。
泊松分布	通常用来描述单位时间内（也可以是单位面积、单位产品）某一事件成功次数所对应的概率。
指数分布	指数分布是描述泊松过程中事件间隔时间的概率分布。 ①在信用风险管理中，可以用指数分布来计量违约概率。 ②指数分布存在无记忆性。
均匀分布	随机变量在一个区间内以相等可能性取得一个区间中的任何一个实数值，即分布密度在区间内是一个常数，分布函数是一条斜线。
正态分布	正态分布的性质 ①关于x=μ对称，在x=μ处曲线最高，在x=μ±σ处各有一个拐点； ②若固定σ，随μ值不同，曲线位置不同，故也称μ为位置参数； ③若固定μ，σ大时，曲线矮而胖，σ小时，曲线瘦而高，故也称σ为形状参数； ④整个曲线下面积为1； ⑤正态随机变量X的观测值落在距均值的距离为1倍、2倍、2.5倍标准差范围内的概率分别如下： P（μ-σ<X<μ+σ）≈68%；P（μ-2σ<X<μ+2σ）≈95%；P（μ-2.5σ<X<μ+2.5σ）≈99% μ=0，σ=1时，称正态分布为标准正态分布
χ2分布	假设n个随机变量X₁,X₂，…,X_n独立同分布且服从标准正态分布，则称统计量服从自由度为n的χ2分布。常用于假设检验和置信区间的计算。
t分布	设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），Y服从χ2分布，且X,Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布。 t分布的性质如下： ①若t~t（n）时，则E（X）=0，其中n>1；D（X）=n/（n-2），其中n>2。 ②t分布曲线是一条以0为中心，左右对称的单峰分布曲线。 ③自由度n是确定t分布形状的参数。当n较小时，t分布的概率密度函数呈现厚尾形状；随着n逐渐增大，t分布越来越接近于标准正态分布。
F分布	设随机变量X服从χ2（m）分布，Y服从χ2（n）分布，且X与Y独立，则称统计量服从自由度分别是m和n的F分布。F分布的性质如下：①若Z~F（m，n），则1/Z~F（n，m）；②若T~t（n），则T²~F_1,n

（5）偏度和峰度

偏度

峰度

用来度量随机变量概率分布的不对称性。

偏度的取值范围为（-∞+∞）,

偏度>0：X右边偏离均值的数据较多，数据分布呈现出右偏，也称正偏。

偏度<0：X左边偏离均值的数据较多，数据分布呈现出左偏，也称负偏。

对于正态分布来说，偏度等于零，表示数据分布左右对称。

用来度量随机变量概率分布的陡峭程度。

峰度的取值范围为[1,+∞），正态分布的峰度为3。

若峰度小于3，则称为低峰，图形上相比正态分布呈现

出矮峰瘦尾；

若峰度值大于3，则称为高峰，图形上相比正态分布呈现出尖峰肥尾。

专题更新时间：2025/08/01 11:31:49

概率及概率分布考点试题

单选题 1.一般来说，如果影响小微企业贷款违约率指标的随机因素非常多，即每个因素所起的作用相对有限，各个因素之间又近乎独立，则小微企业贷款违约率指标可以近似看作服从（）。

A . 正态分布

B . 二项分布

C . 0-1分布

D . 泊松分布

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正确答案: A

答察解析: 在风险计量的理论研究和实际应用中，正态分布起着特别重要的作用。实际中遇到的许多随机现象都服从或近似地服从正态分布。例如，可以用正态分布来描述股票（或资产组合）每日收益率的分布。一般来说，如果影响某一数量指标的随机因素非常多，而每个因素所起的作用相对不太大，各个因素之间近乎独立，则这个指标可以近似看作服从正态分布。

单选题 2. 通过分析过去三个月内英镑兑美元的汇率，得到汇率均值为1英镑＝1.64美元，汇率波动标准差为250个基点。假设英镑兑美元的汇率波动基本符合正态分布，则预期未来三个月中，英镑兑美元的汇率有95％的可能性处于（　　）美元之间。

A . 1.565～1.750

B . 1.590～1.690

C . 1.615～1.665

D . 1.540～1.740

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正确答案: B

答察解析: 若随机变量X的概率密度函数为：，则称X服从参数为μ，σ的正态分布，记为N（μ，σ²），μ是正态分布的均值，σ²是方差。P（μ－2σ<X<μ＋2σ）≈95％，表示95％的可能落在均值左右两个标准差之间。该题英镑兑美元的汇率有95％的可能性处于1.59～1.69美元之间。

单选题 3.关于偏度的说法错误的是（）。

A . 对于正态分布来说，偏度等于零，表示数据分布左右对称

B . 偏度刻画了概率密度曲线尾部的相对长度

C . 偏度的取值范围为( -∞，+∞)

D . 当偏度大于0时，数据分布呈现出左偏

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正确答案: D

答察解析:
偏度刻画了概率密度曲线尾部的相对长度。偏度的取值范围为( -∞，+∞) ,当偏度大于0时，说明相对而言X右边偏离均值的数据较多，数据分布呈现出右偏，也称正偏（D选项错误）。当偏度小于0时，说明相对而言X左边偏离均值的数据较多，数据分布呈现出左偏，也称负偏(见图) 。对于正态分布来说，偏度等于零，表示数据分布左右对称。

单选题 4.设随机变量X～N(3，2²)，且P(X>a)=P(X<a)，则常数a为(　　)。

A . 0

B . 2

C . 3

D . 4

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正确答案: C

答察解析: 由于X为连续型随机变量，所以P(X=a)=0，已知P(X>a)=P(X<a)，可得P(X<a)=P(X>a)=0．5，即a处在正态分布的中心位置，根据题干中的条件可知该分布关于μ=3轴对称，所以a=3。

单选题 5.假设购买某种彩票中奖概率为0.5%，若中奖，奖金为10000元，若不中奖，则奖金为0，在不考虑购买彩票成本的条件下，则购买该彩票收益的期望值为（）。

A . 5000元

B . 5元

C . 500元

D . 50元

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正确答案: D

答察解析: 购买某种彩票中奖概率为0.5%，若中奖，奖金为10000元。购买某种彩票不中奖概率为（1-0.5%），奖金为0元。则购买该彩票的收益期望值为0.5%×10000+（1-0.5%）×0=50。

大咖讲解：概率及概率分布

李开源

银行从业

互联网金融硕士，高级金融讲师，上海财经广播特约评论嘉宾

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收益和风险的度量

（1）收益的度量

①绝对收益：对投资收益最直接和直观的计量方式，是投资成果的直接反映。

绝对收益=期末资产价值总额-期初投入的资金总额

②持有期收益率：最常用的评价投资收益的方式。

持有期收益率=（期末价格-期初价格+持有期间现金收益）/期初价格

③预期收益率：假定收益率R服从某种概率分布，资产的未来收益率有n种可能的取值r₁，r₂，……r_n,每种收益率对应出现的概率为P_i则该资产的预期收益率E（R）为

E（R）=P₁r₁+P₂r₂+.…..+P_nr_n

（2）风险的度量：方差和标准差

资产收益率的不确定性就是风险的集中体现，而风险的大小可以由未来收益率与预期收益率的偏离程度来反映。

资产收益率标准差越大，表明资产收益率的波动性越大。当标准差很小或接近于零时，资产的收益率基本稳定在预期收益水平，出现的不确定性程度逐渐减小。

高频

风险分散的数理原理

根据投资组合理论，构建资产组合即多元化投资能够降低投资风险。以投资两种资产为例，假设两种资产的预期收益率分别为R₁和R₂，每一种资产的投资权重分别W₁和W₂=1-W₁，则该资产组合的预期收益率为

R_p=W₁R₁+W₂R₂

高频

线性回归分析

（1）回归方程

Y=α+β1X1+……+βnXn+ε

①当n=1时，称一元回归，回归系数β也称为斜率

②当n>1时，称为多元回归

（2）模型的假定

①Y与解释变量Xi之间的关系是线性的；

②解释变量Xi之间互不相关，即不存在多重共线性；

③误差项ε的期望值为零，即E（ε）=0；

④对不同的观察值，ε的方差不变，即不存在异方差；

⑤误差项ε满足正态分布。

（3）建立模型

逐步回归的基本思想：逐一增加解释变量个数，逐一进行显著性检验，直到既没有显著的解释变量选入回归方程，也没有不显著的解释变量从回归方程中剔除，保证最后所得到的解释变量集是最优的。

（4）评估模型的性能

①残差图：从预测结果中减去对应的目标变量的真实值，便可获得残差值。

②均方误差：误差平方和的平均值。

③拟合优度：可解释的波动与总波动之比，反映了Y的波动有多少百分比能被X的波动所描述。

④模型拟合优良性评价准则：评价准则包括AIC准则（赤池信息准则）、BIC准则（贝叶斯信息准则）

（5）回归分析在压力测试中的应用（2023新增）

在信用风险压力的情景测试方法中，需要分析多个风险因素同时发生变化以及某些极端不利事件发生对银行资产组合和银行承受风险能力的影响。

建立回归模型包括以下步骤：

①因子分析。包括：检验因变量与自变量之间统计量显著并符合经济常识；检验自变量之间不存在明显的多重共线性等问题。

②选择模型入模因子。通过逐步回归的方式挑选入模因子，若统计量不显著或经济含义不准确，可以尝试用宏观因子的一阶或多阶滞后项代入模型，直到满足统计检验和经济含义解析显著为止。

③确定压力测试模型。利用拟合优度、 AIC 或BIC 准则等模型评估指标，选择最终适用的压力测试模型，确定违约率（因变量）与宏观压力因子（自变量）之间的关系。

高频

随机事件与概率

不确定性事件：在相同的条件下重复一个行为或试验，所出现的结果有多种，但具体是哪种结果事前不可预知。

确定性事件：在相同的条件下重复同一行为或试验，出现的结果是相同的。

高频

随机变量及其概率分布

①离散型随机变量：列举法、表格法

②连续型随机变量：概率密度函数、累积概率分布函数

高频

随机变量的期望、方差和协方差

随机变量的期望、方差和协方差

期望	随机变量的概率加权和。
方差	描述随机变量偏离其期望值的程度。当一个随机变量取值以很大的可能性偏离其期望值时，其方差就比较大，反之方差较小。
标准差	通常将随机变量方差的算术平方根称为标准差或波动率。
线性变换	风险管理中通常需要关注多个变量的线性组合。例如，分析投资组合的期望、方差等统计规律时，要对变量进行线性变换后再计算期望和方差。
协方差与相关系数	协方差Cov（X,Y）可以用来度量不同随机变量之间的相关性。取值是负无穷到正无穷。相关系数的取值范围为-1~1。当相关系数等于-1时，表示X和Y完全负相关；当相关系数等于1时，表示X和Y完全正相关；当相关系数等于零时，表示X和Y不相关，此时Cov（X,Y）=0。相关系数越大，表明X和Y相关程度越高。

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一些重要的概率分布

一些重要的概率分布（2023新增）：

二项分布	描述只有两种可能结果的多次重复事件的离散型随机变量的概率分布。
泊松分布	通常用来描述单位时间内（也可以是单位面积、单位产品）某一事件成功次数所对应的概率。
指数分布	指数分布是描述泊松过程中事件间隔时间的概率分布。 ①在信用风险管理中，可以用指数分布来计量违约概率。 ②指数分布存在无记忆性。
均匀分布	随机变量在一个区间内以相等可能性取得一个区间中的任何一个实数值，即分布密度在区间内是一个常数，分布函数是一条斜线。
正态分布	正态分布的性质 ①关于x=μ对称，在x=μ处曲线最高，在x=μ±σ处各有一个拐点； ②若固定σ，随μ值不同，曲线位置不同，故也称μ为位置参数； ③若固定μ，σ大时，曲线矮而胖，σ小时，曲线瘦而高，故也称σ为形状参数； ④整个曲线下面积为1； ⑤正态随机变量X的观测值落在距均值的距离为1倍、2倍、2.5倍标准差范围内的概率分别如下： P（μ-σ<X<μ+σ）≈68%；P（μ-2σ<X<μ+2σ）≈95%；P（μ-2.5σ<X<μ+2.5σ）≈99% μ=0，σ=1时，称正态分布为标准正态分布
χ2分布	假设n个随机变量X₁,X₂，…,X_n独立同分布且服从标准正态分布，则称统计量服从自由度为n的χ2分布。常用于假设检验和置信区间的计算。
t分布	设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），Y服从χ2分布，且X,Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布。 t分布的性质如下： ①若t~t（n）时，则E（X）=0，其中n>1；D（X）=n/（n-2），其中n>2。 ②t分布曲线是一条以0为中心，左右对称的单峰分布曲线。 ③自由度n是确定t分布形状的参数。当n较小时，t分布的概率密度函数呈现厚尾形状；随着n逐渐增大，t分布越来越接近于标准正态分布。
F分布	设随机变量X服从χ2（m）分布，Y服从χ2（n）分布，且X与Y独立，则称统计量服从自由度分别是m和n的F分布。F分布的性质如下：①若Z~F（m，n），则1/Z~F（n，m）；②若T~t（n），则T²~F_1,n