套利及套利组合

（一）资本资产定价模型的假设与含义

资本资产定价模型（CAPM ）是在资本市场处于均衡状态的价格决定模型。

CAPM 基于两组假设，分别与投资者行为和市场结构相关。

投资者行为方面的假设：

① 投资者都是厌恶风险的，同时具有不满足性， 即任何投资者都希望财富越多越好；

② 投资者都追求期末财富的期望效用最大化；

③ 所有投资者对未来都具有一致性预期，都能正确地认识到所有资产的收益服从联合正态分布；

④ 投资者都是理性的，都追求"均值——方差"最优化；

⑤ 所有投资者均可免费获得信息，市场的信息是公开的、完备的。

市场结构方面的假设：

① 所有资产均为责任有限的，即对任何资产，其期末价值总是大于或等于0；

② 市场是完备的，即不存在交易成本和税收，且所有资产均可以无限分割；

③ 存在无风险资产，投资者可以以共同的无风险利率进行借贷，且不受数量限制；

④ 存在做空机制，投资者可以做空所有资产；

⑤ 市场处于完全竞争状态，即不存在垄断和操纵，资本市场有众多的投资者，每一个个体投资者的买入或卖出行为，都不会影响资产的价格。

在CAPM 的假设下，最优风险组合就等于市场组合。

市场组合包含了市场上流通的所有证券，其中，每一个证券的投资比例等于它们的相对市场价值，即该证券的市场价值除以所有证券的市场价值总和。

理论上，市场组合包含所有风险资产：

金融资产如股票、债券、 期权、期货等，以及实际资产如不动产、黄金、古董、艺术品等。

市场组合就是资本配置线与风险资产有效边界的切点。

资本市场线给出了每一种证券组合的风险水平的应得收益，即任何一种证券组合的预期收益率 E（r_p） 和标准差 σ（r_p） 关系应该符合资本市场线的关系。

E（r_M） 表示市场组合的预期收益率、σ_M市场组合的标准，r_f无风险利率。

整理后得到

β_p 通常被称为证券组合P的贝塔系数。

表明资产的风险溢价E（r_p）-r_f 等于该资产贝塔系数乘以市场组合的风险溢价。

（二）指数模型

指数模型是旨在研究资产收益与市场指数和公司特定因素收益相关联的模型。

阿尔法系数也被称为詹森指数，代表投资者的投资能力。

对等式两边求方差，得到

每个证券收益率的总体波动可以分为两个部分，分别为整个市场的风险β_i²×σ_M²和公司特定的风险 σ² （e_i）。

市场部分的风险又被称为系统风险，无法通过分散投资消除；

公司特定的风险又被称为个体风险，可以通过分散投资消除。

由于σ_M²对于市场所有证券而言是一致的，因此，贝塔系数衡量了不同证券或不同投资组合的系统风险程度，也是常用的风险指标。

（三）证券市场线

在CAPM 中，贝塔系数确定的情况下，证券或投资组合的预期收益率就可以被确定。

贝塔系数还是衡量证券或投资组合风险的常见指标。

因此，预期收益率和贝塔系数的关系可表示为一条直线，即证券市场线SML。

该直线在纵轴上的截距为无风险利率，斜率为市场的风险溢价。

CML和SML的差异：

①风险的代理指标不一样， CML采用标准差作为风险的代理，刻画了组合的整体风险，而 SML 采用证券或投资组合的贝塔系数作为风险的代理，仅刻画了证券或投资组合的系统风险；

② CML 刻画的是有效投资组合的风险溢价与有效投资组合标准差之间的关系，其中有效投资组合是指由市场组合（或最优风险组合）和无风险资产所构成的整个投资组合，而 SML 可以用于单个风险资产，也可用于投资组合。

指数模型是旨在研究资产收益与市场指数和公司特定因素收益相关联的模型。

阿尔法系数也被称为詹森指数，代表投资者的投资能力。

对等式两边求方差，得到

每个证券收益率的总体波动可以分为两个部分，分别为整个市场的风险β_i²×σ_M²和公司特定的风险 σ² （e_i）。

市场部分的风险又被称为系统风险，无法通过分散投资消除；

公司特定的风险又被称为个体风险，可以通过分散投资消除。

由于σ_M²对于市场所有证券而言是一致的，因此，贝塔系数衡量了不同证券或不同投资组合的系统风险程度，也是常用的风险指标。

在CAPM 中，贝塔系数确定的情况下，证券或投资组合的预期收益率就可以被确定。

贝塔系数还是衡量证券或投资组合风险的常见指标。

因此，预期收益率和贝塔系数的关系可表示为一条直线，即证券市场线SML。

该直线在纵轴上的截距为无风险利率，斜率为市场的风险溢价。

CML和SML的差异：

①风险的代理指标不一样， CML采用标准差作为风险的代理，刻画了组合的整体风险，而 SML 采用证券或投资组合的贝塔系数作为风险的代理，仅刻画了证券或投资组合的系统风险；

② CML 刻画的是有效投资组合的风险溢价与有效投资组合标准差之间的关系，其中有效投资组合是指由市场组合（或最优风险组合）和无风险资产所构成的整个投资组合，而 SML 可以用于单个风险资产，也可用于投资组合。

证券的价格变化受多种因素的影响，如果能找出影响证券价格的因素，分析这些因素的影响程度，就可以构造出因素模型来估计每个证券的预期收益率，通过影响因素分析证券价格波动的模型被称为因素模型。

• （一）单因素模型

单因素模型的基本思想是证券收益率只与一个影响因素有关，除了这个因素外，证券收益率的所有剩余不确定性是公司特有的。

其中，r_it表示证券i在时期t的收益率；F_t表示因素在t时期的值；b_i表示证券i对因素的敏感度；ε_it为证券i的收益率在t时期的随机扰动，其均值为0；a_i为常数，表示因素值为0时证券i的预期收益率。

• （二）多因素模型

证券 i 的收益率取决于多个因素， 如果多因素模型认为取决于k个因素，则

例：设影响各个公司运营情况的两个重要经济变量是国内生产总值 GDP 和利率 R，任何证券的收益都与这两个宏观风险因素以及各自公司的特有风险相关，多因素模型可表示为：

假设 a_i=1%，b_i1=0.8，b_i2=-0.4

如果某一季度的国内生产总值为 5%，利率为 3%，那么证券i在该季度的预期收益率为1%+0.8×5%-0.4×3% =3.8%。

• （三）Fama-French 三因子模型

包括三个因子因素，分别为市场因子、市值因子和账面市值比因子。

该模型在指数模型的基础上， 加入市值因子（r_SMB） 和账面市值比因子（r_HML） 来解释平均收益率。

加入原因：市场观察发现小市值公司的股票的平均收益率和账面市值比高的公司的股票的平均收益率，比根据 CAPM 预估所得的数值要高。

账面市值比高的公司主要是相对成熟的公司，这些公司从已经存在的资产中获得了更大的市场份额，而不是增长机会，这类公司的股票通常被称为价值型股票。

账面市值比低的公司被视为成长型公司，其市值来自现金流的预期增长，而非现有资产。

后两项的风险并没有完全被 CAPM 中的β值所捕获。

• （一）套利及套利组合

套利定价理论从因素模型出发，认为通过套利行为，市场将达到均衡，可以推导出均衡状态下的资本资产定价模型。

套利是资本市场理论中的一个基本概念，是指利用一个或多个市场或不同时间存在的各种价格差异，构造套利组合，在不承担风险的情况下，赚取较高收益的交易活动。

【例题】构建套利组合

假设某投资者拥有一个3种股票组成的投资组合，3种股票的市值均为 500 万元，投资组合的总价值为 1500 万元。 假定这3种股票均符合单因素模型，其预期收益率分别为 16%、20%、13%，其对因素的敏感度分别为 0.9、3.1 和1.9。

请问：该投资者能否修改其投资组合，以便在不增加风险的情况下提高预期收益率。

令3种股票市值比例的变化分别为 X₁、X₂ 和X₃，根据套利组合构建的条件，需满足以下两个等式： X₁+X₂+X₃=0

0.9X₁+3.1X₂+1.9X₃=0

上述两个方程有三个变量，因此有很多个解。

作为其中一个解，令 X₁=0.1 ，即可解出 X₂=0.083 ， X₃= -0.183

为检验此套利组合是否能够获取大于0的预期收益率，将这个解带入公式（ 8-30），0.1×16%+0.083×20%-0.183×13%=0.881%>0

由于 0.881% 大于0，因此可以通过卖出 274.5 （0.183×1500） 万元的第三种股票，买入 150（0.1×1500） 万元的第一种股票和 124.5 （ 0.083×1500 ）万元的第二种股票，使投资组合的预期收益率提高。

• （二）套利定价模型

在现实的世界里，套利机会的存在会触发套利交易的行为，直到套利机会明显减少或消失为止。

在均衡状态下，各证券的预期收益率与该证券的因素敏感度存在线性关系。

图中的直线被称为套利定价线或 APT资产定价线。

任何偏离APT资产定价线的证券，其定价都是错误的，这会给投资者提供构建套利组合的机会。例如，卖S买B。

λ₁ 代表风险价格，即单位因素敏感度组合的预期收益率超过无风险利率的部分。

代入APT线可得到

单因素模型下的 APT 资产定价公式可推广至多因素模型下的 APT资产定价公式，

说明一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。

• （三）套利定价模型与资本资产定价模型的一致性

套利定价模型与资本资产定价模型既有区别又有联系，两者都是一种均衡模型。

资本资产定价模型则是一种理想的均衡模型，它强调的是证券市场所有证券的供需均达到均衡。

套利定价模型是一种动态的均衡模型，有套利机会，套利，消失，新套利机会等，如此往复使得市场更趋于合理。

相比于资本资产定价模型而言，套利定价模型更具一般性。

在现实的世界里，套利机会的存在会触发套利交易的行为，直到套利机会明显减少或消失为止。

在均衡状态下，各证券的预期收益率与该证券的因素敏感度存在线性关系。

图中的直线被称为套利定价线或 APT资产定价线。

任何偏离APT资产定价线的证券，其定价都是错误的，这会给投资者提供构建套利组合的机会。例如，卖S买B。

λ₁ 代表风险价格，即单位因素敏感度组合的预期收益率超过无风险利率的部分。

代入APT线可得到

单因素模型下的 APT 资产定价公式可推广至多因素模型下的 APT资产定价公式，

说明一种证券的预期收益率等于无风险利率加上k个因素的风险报酬。