2019下半年教师资格证真题及答案：初中数学

 [答案要点]

(1)学生解方程时并没有按照分式方程的标准解法，而是直接移项再去化简分式的分子和分母;解分式方程是八年级学生重点学习的一个内容，同样也是一个难点， 学生出现这种问题可能在于运算基础不够扎实，想要直接约去分式的分子与分母,一定要保证约去的式子不能为0。

(2)原式两边乘得，化简可得，解得，最后将带入原方程验增根，发现，所以该方程无解。

(3)在中学阶段常用的解方程的数学思想方法有很多，常用的有整体的思想，比如换元法， 换元法是在解方程中常用的一种方法，即对结构较复杂的方程组，若把其中的某些部分看成一个整体，用新的字母代替，从而得到新的方程解题方法，换元法能使复杂的问题简单化;其次还有方程思想，在解决某些问题时，从题目中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等的关系，运用数学语言将相等关系转化成新的方程或方程组，再通过新的方程与方程组使问题解诀。对于解方程还常常使用到化归的思想，划归思想是把所要解决的问题转化归结为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，即化难为易、化繁为简，化未知为已知。

[答案要点]

(1)角平分线上的点到角两边的距离相等。

(2)新课导入:

教师:我们应该在很早之前就接触过角的平分线这个概念，谁能告诉我什么是角的平分线呢?

(学生回答)一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

教师:大家观察一下这个角，其实，再添加一些线段就能成为两个三角形，我们之前学习了全等三角形的性质及判定，那么结合这个，我们是否能够发现角的平分线的一些性质呢?今天我们就来探究一 下这个问题。

设计意图:复习角平分线的定义，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论。

教学活动:任意作-一个角LAOB, 作出LAOB的平分线OC,在OC上任取一点P,过点P画出OA和OB的垂线， 分别记垂足为D, E，PD和PE有什么关系?引导学生猜想。

教师:大家可以用直尺来量测一下，能够得到结论吗?

大部分同学都得到了PD=PE的结论。 那么有谁能够利用数学方法来证明一下呢?

已知:如图，∠AOC=∠BOC， 点P在0C上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。

求证: PD=PE。

师生共同证明:

∵PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO=∠PEO=90°

在ΔPDO和ΔPEO中

∠PDO=∠PEO (已证)

∠AOC=∠BOC

OP=OP (公共边)

∴ΔPDO≌ΔPEO (AAS)

∴PD=PE (全等三角形的对应边相等)

得到角平分线性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

教师:通过刚刚的证明，我们得到了我们的结论是正确的。是不是在角平分线上任意取点，都可以得到这个结论呢?

(学生动手验证)

教师:我们发现，任意一点都可以得到相等的结论。由此，我们得到了角平分线的性质:

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

结论数学语言:

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE。

教师:在这个定理中，我们必须明白，这个性质的应用必须满足几个条件: 

(1)角的平分线;

(2)点在该平分线上;

(3)垂直距离。

设计意图:让学生通过实验发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路，以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括几何名命题的-般步骤，发展学生的归纳概括能力。

(3)数学活动经验是一种 属于学生自己的“主观性认识”，对于认识几何图形的数学活动经验，是学生经过数学学习后对整个数学活动过程产生的认识。如何帮助学生积累认识几何图形的数学活动经验，首先要联系直观图形，把生活经验转化为基本数学活动经验。学生在生活中已经积累的一些关于数学的原始、初步的经验，因此要善于捕捉生活中的数学现象，挖掘数学知识的生活内涵，让学生亲身经历将生活经验转化为数学活动经验的过程。例如在本节课中，可以先让学生画一个角，然后探究角平分线的作法。利用模型教具说明平分角的仪器的工作原理，从中受到启发，利用尺规做角的平分线，进-步思考角的平分线上的点的特征。

其次要引导观察、思考推理，丰富学生思维的经验。 积累活动经验总得依赖一些活动，但是所谓的活动并不-定是指直观的操作活动，行为操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验也是基本活动经验的重要组成部分。例如在本节课中，教师在抛出“PD和PE有什么关系?之后，教师先引导学生进行猜想，再带领学生进行自主探究去证明，对于不同的学生想出证明方法可能都不一样，所以教师可以组织学生进行汇报交流，最后师生共同总结得到证明方法:最終得到角平分线定理的性质。