2026年期货投资分析第三章重点：一元线性回归分析

期货投资分析第三章重点：一元线性回归分析

1、一元线性回归模型的基本假定

设有如下一元线性回归模型：

y_i=α+βx_i+μ_i(i=1,2,…,n)

y_i：因变量或被解释变量；

x_i：自变量或解释变量；

u_i：一个随机变量，称为随机（扰动）项；

α、β：是两个常数，称为回归参数，下标i：表示变量的第i个观察值或随机项。

随机项μ满足以下假定：

假定1，每个μ_i(i=1, 2, 3,...n) 均为独立同分布，且服从正态分布的随机变量，而且 E(μ_i)=0，Var(μ_i)=σ_μ²=常数

假定2，每个随机项μ_i均互不相关，即：Cov(μ_i,μ_j)=0（i≠j）

假定3，随机项μ_i与自变量的任一观察值x_i不相关，即：Cov(μ_i,x_i)=0（i=1,2,3,....n）

满足上述假定时，对一元线性回归模型两边取期望有：E(y_i)=α+βx_i，该结果表明点(x_i,E(y_i))在E(y_i)=α+βx_i所对应的直线上。这条直线叫作：总体回归线（或理论回归线）。

2、一元线性回归模型的参数估计

3、一元线性回归模型的检验

（1）拟合优度

反应回归直线与样本观察值拟合程度的量，这个量就是拟合优度，又称样本“可决系数”常用R²表示。

TSS= ESS +RSS

TSS为总离差平方和，ESS为回归平方和，RSS为残差平方和

总离差平方和一定时，回归平方和越大，拟合优度越大，反映了线性回归效果越好，说明回归直线和样本观察值拟合程度越好。反之，则越差。

R²的取值范围为：0≤R²≤1，R²越接近1，拟合效果越好；R²越接近0，拟合效果越差。

（2）t检验，又称回归系数检验，步骤如下：

表明回归模型中，自变量x对因变量y产生显著影响；否则，不拒绝原假设，回归模型中自变量x对因变量y的影响不显著。

4、一元线性回归分析的预测：点预测和区间预测

（1）点预测。设回归模型为：

y_i=α+βx_i+μ_i(i=1,2,3,...,n)

假定在抽样期外的某预测期f中的自变量xf已知，上述模型适用于该预测期，这时因变量y_f=α+βx_f+μ_f，其中，随机项满足基本假定。此时y_f的预测值有两个，一个是期望值，一个是y_f的点预测值。

这是y_f在f点的预测值，也可以作为E（y_f）的预测值。

（2）区间预测。

从y平均值的区间预测公式和y个别值的区间预测公式得出以下的特征：

a.在相同的置信度下，y的个别值的预测区间较宽，说明比y平均值的区间预测的误差更大；

b.样本容量n越大，预测精度越高，预测越精确；

c.x_f距离x的均值越近，预测精度越高；

d.越大，反映了抽样范围越宽，抽取的样本代表性广，预测精度越高。

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